Question

如图，四边形是的内接四边形，为直径， ，，垂足为.

（1）求证：平分；

（2）判断直线与的位置关系，并说明理由；

（3）若，，求阴影部分的面积。

Answer

（1）证明见解析；（2）直线与相切。理由见解析；（3）阴影部分的面积

【解析】

（1）根据圆周角定理，由，得到∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；
（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；
（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=4，则CH=HE-CE=2，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD进行计算．

（1）证明：∵,

，

，

，

即平分；

（2）直线与相切。理由如下：

连结，如图，

，

，

而，

，

，

，

，

为的切线；

（3）作于，则四边形为矩形，

，

，

，

，

在中，，

，

阴影部分的面积