如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点，分别在轴正半轴与轴正半轴上，是对角...

如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点，分别在轴正半轴与轴正半轴上，是对角线.点从点出发向点运动（不与点，重合），到达点时停止运动，射线交轴于点，，交轴于点，交轴于点，连结，.

（1）求证：；

（2）请探究：的面积是否变化？若不变化，试求出的面积；若变化，请说明理由；

（3）当为何值时，是等腰直角三角形；

（4）过点作，垂足为点，请直接写出点运动的路线长.

（1）证明见解析； (2)三角形的面积=4，为定值；（3）；（4）运动的路线长为. 【解析】（1）由∠POB=∠POF+∠OPF=45°，∠POA=∠PEO+∠OPE=45°，∠EPF=∠EPO+∠OPD=45°，可得∠EPO=∠OFP，∠PEO=∠OPF；（2）由△POE∽△FOP，可得，推出OP2=OE•OF，由正方形OAPB的边长为2，推出OP=2，推出OE•OF=8，由此即可解决问题；（3）分两种情形讨论求解即可；（4）确定点G的运动轨迹，利用弧长公式计算即可. （1）证明：如图1中， ∵四边形OAPB是正方形， ∴∠POB=∠POA=45°， ∵∠POB=∠POF+∠OPF=45°，∠POA=∠PEO+∠OPE=45°，∠EPF=∠EPO+∠OPD=45°， ∴∠EPO=∠OFP，∠PEO=∠OPF， ∴△POE∽△FOP；（2）【解析】结论：△OEF的面积是定值，不变；理由：∵△POE∽△FOP， ∴， ∴OP2=OE•OF， ∵正方形OAPB的边长为2， ∴OP=2， ∴OE•OF=8， ∴S△OEF=•OE•OF=4．（3）如图2中，当FP=FE，∠PFE=90°时，易证△FBP≌△EOF， ∴OF=BP=2，OE=BF=4， ∵PB∥EO， ∴， ∴OC=,BC=， ∴m=. 如图3中，当PE=FE，∠PPEF=90°时，易证△FOD≌△EAP， ∴OE=AP=2，OF=AE=4， ∵PB∥EO， ∴ =1， ∴OC=BC=1， ∴m=1，综上所述，满足条件的m的值为或1．（4）如图4中，将△PAD绕点P顺时针旋转90°得到△PBK．易证△CPD≌△CPK， ∵PG⊥CD，PB⊥CK， ∴PG=PB=2， ∴点G的运动轨迹是以P为圆心2为半径的弧BD， ∴点G运动的路线长==π.

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考点分析：

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