Question

如果一个四位数的千位数字与十位数学相同,百位数字与个位数字相同,则称这个四位数为“循环四位数”,如1212,5252,6767, …等都是“循环四位数”,如果将一个“循环四位数”的百位数字与千位数字,个位数字与十位数字都交换位置,得到一个新四位数,我们把这个新四位数叫做“原循环四位数的对应数”,如果原循环四位数的百位数字是0,则忽略交换位置后首位的“0”,即它的对应数就是首位“0”忽略后的三位数,如1212的对应数为2121,5252的对应数为2525,1010的对应数为101. 

(1)任意写一个“循环四位数”及它的“对应数”;猜想任意一个“循环四位数”与它的“对应数”的差是否都能被101整除?并说明理由; 

(2)一个“循环四位数”的千位数字为x(1≤x≤9),百位数字为y(1≤y≤9,且y<x),若这个循环四位数与它的对应数的差能被404整除,求y与x应满足的数量关系.

Answer

(1)循环四位数为3434,其对应数为4343, 理由见解析； (2) y=x-4或y=x-8

【解析】

（1）根据题意举例即可，设循环四位数的千位数字与十位数字为m，百位数字与个位数字为n，分别表示出循环四位数和其对应数，再作差化简即可得；
（2）由（1）知，这个循环四位数与它的对应数的差为101×9（x-y），根据题意知x-y=4或x-y=8，即可得答案．

(1)循环四位数为3434,其对应数为4343, 

设循环四位数的千位数字与十位数字为m,百位数字与个位数字为n, 

则循环四位数为1000m+100n+10m+n,其对应数为1000n+100m+10n+m, “循环四位数”与它的“对应数”的差为（1000m+100n+10m+n）-（1000n+100m+10n+m）=101×9（m-n）,

∴任意一个“循环四位数”与它的“对应数”的差都能被101整除; 

(2)由(1)知,这个循环四位数与它的对应数的差为101×9（x-y）, 

∵这个循环四位数与它的对应数的差能被404整除, , ∴x-y=4或x-y=8

即y=x-4或y=x-8