Question

如图，抛物线y=x²﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）y=x2﹣4x+3；（2）P的坐标为：（2，1）．

【解析】

试题（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；

（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．

【解析】
（1）由题意得，，

解得b=4，c=3，

∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；

（2）∵点A与点C关于x=2对称，

∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，

根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），

y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），

∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，

，

解得，k=﹣1，b=3，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，

则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）

∴点P的坐标为：（2，1）．