Question

如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ.若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状（   ）

A. 直角三角形    B. 等腰三角形    C. 锐角三角形    D. 钝角三角形

Answer

A

【解析】

连接PQ，先通过“边角边”证明△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ，易证△BQP为等边三角形，得到PQ=BP，再利用勾股定理的逆定理证明△PQC为直角三角形即可.

【解析】
如图，连接PQ，

∵∠ABP+∠PBC=60°，∠CBQ+∠PBC=60°，

∴∠ABP=∠CBQ，

在△ABP与△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ（SAS），

∴AP=CQ，

∵∠PBQ=60°，BQ=BP，

∴△BPQ为等边三角形，即BP=PQ，

又∵PA∶PB∶PC=3∶4∶5，

可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，

即CQ=3a，PQ=4a，

∴CQ2+PQ2=9a2+16a2=25a2=PC2，

则△PQC为直角三角形.

故选：A.