Question

△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a²+b²=c²，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a²+b²与c²的关系，并证明你的结论.

Answer

见解析

【解析】

【解析】
若△ABC为锐角三角形，则有a2＋b2＞c2，若△ABC为钝角三角形，∠C为钝角，则有a2＋b2＜c2．

证明：（1）当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，则有DB＝a－x．

根据勾股定理，得b2－x2＝c2－（a－x）2，即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2．

∴a2＋b2＝c2＋2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，

∴a2＋b2＞c2．

（2）当△ABC为钝角三角形时，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设CD＝x，则BD2＝a2－x2．根据勾股定理，得（b＋x）2＋（a2－x2）＝c2，∴a2＋b2＋2bx＝c2．

∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a2＋b2＜c2．