Question

如图所示，

(1)正方形及等腰有公共顶点，，连接、.将绕点旋转，在旋转过程中，、具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；

(2)将(1)中的正方形变为矩形，等腰变为，且，，其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；

(3)将(2)中的矩形变为平行四边形，将变为，且，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用表示出线段、的数量关系，用表示出直线、形成的锐角.

Answer

（1）DF=BE且DF⊥BE，证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即DF=kBE，DF⊥BE；（3）不改变．DF=kBE，β=180°-α

【解析】

试题（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF=AE，又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余，所以∠BA E=∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE与DF相等，延长DF交BE于G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF=90°，所以DF⊥BE；（2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以△FAD∽△EAB，所以DF=kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF=90°，所以DF⊥BE；

（3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF=180°，所以DF与BE的夹角β=180°-α．

试题解析：（1）DF与BE互相垂直且相等．

证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G

在正方形ABCD和等腰直角△AEF中

AD=AB，AF=AE，

∠BAD=∠EAF=90°

∴∠FAD=∠EAB

∴△FAD≌△EAB（2分）

∴∠AFD=∠AEB，DF="BE"

∵∠AFD+∠AFG=180°，

∴∠AEG+∠AFG=180°，

∵∠EAF=90°，

∴DF⊥BE

（2）数量关系改变，位置关系不变．DF=kBE，DF⊥BE．

延长DF交EB于点H，

∵AD=kAB，AF="kAE"

∴,

∴

∵∠BAD=∠EAF="a"

∴∠FAD=∠EAB

∴△FAD∽△EAB

∴

∴DF="kBE"

∵△FAD∽△EAB，

∴∠AFD=∠AEB，

∵∠AFD+∠AFH=180°，

∴∠AEH+∠AFH=180°，

∵∠EAF=90°，

∴∠EHF=180°-90°=90°，

∴DF⊥BE

（3）不改变．DF=kBE，β=180°-a．

延长DF交EB的延长线于点H，

∵AD=kAB，AF="kAE"

∴,

∴

∵∠BAD=∠EAF="a"

∴∠FAD=∠EAB

∴△FAD∽△EAB

∴

∴DF=kBE

由△FAD∽△EAB得∠AFD=∠AEB

∵∠AFD+∠AFH=180°

∴∠AEB+∠AFH=180°

∵四边形AEHF的内角和为360°，

∴∠EAF+∠EHF=180°

∵∠EAF=α，∠EHF=β

∴a+β=180°∴β=180°-a