Question

如图：是的直径，是弦，，延长到点，使得.

(1)求证：是的切线；

(2)若，求的长.

Answer

(1)见解析；(2).

【解析】

（1）连接DO，由三角形的外角与内角的关系可得∠DOC=∠C=45°，故有∠ODC=90°，即CD是圆的切线．
（2）由（1）可得OCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出OC的长，再根据BC＝OC﹣OB即可．

（1）证明：连接DO，

∵AO＝DO，

∴∠DAO＝∠ADO＝22.5°．

∴∠DOC＝45°．

又∵∠ACD＝2∠DAB，

∴∠ACD＝∠DOC＝45°．

∴∠ODC＝90°．

又 OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线．

（2）连接DB，

∵∠ACD＝∠DOC＝45°, ∴CD＝OD

∵直径AB＝2，

∴CD＝OD＝，OC＝＝2，

∴BC＝OC﹣OB＝2﹣．