Question

如图，关于的二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；

(3)有一个点从点出发，以每秒1个单位的速度在上向点运动，另一个点从点与点同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点到达点时，点、同时停止运动，问点、运动到何处时，面积最大，试求出最大面积.

Answer

(1)；(2)存在，点的坐标为：或或或；(3)当、或时面积最大，最大面积是1.

【解析】

（1）把和点 代入，用待定系数法求解即可；

（2）先求出B点的坐标，然后分三种情况求【解析】
①当时，②当时，③当时；

（3）设运动时间为，由，得，则，根据三角形的面积公式列出函数关系式求解即可.

【解析】
(1)把和代入，

，

解得：，，

∴二次函数的表达式为：；

(2)令，则，

解得：或，

∴，

∴，

点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，

①当时，，

∴或

∴，；

②当时，，

∴；

③当时，

∵

∴此时与重合，

∴；

综上所述，点的坐标为：或或或；

(3)如图2，设运动时间为，由，得，则，

∴，

即当、或时面积最大，最大面积是1.