Question

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB于D点,M,N是AC,BC上的动点,且∠MDN=90°,下列结论:①AM=CN;②四边形MDNC的面积为定值;③AM²+BN²=MN²;④NM平分∠CND. 其中正确的是 (　 　)

A. ①②③    B. ①②④    C. ①③④    D. ①②③④

Answer

A．

【解析】

试题解析：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，

∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=BD=CD=AB，∠ACD=∠BCD=∠A=∠B=45°．

∵∠MDN=90°，

∴∠ADM=∠CDN．

在△AMD和△CND中，

，

∴△AMD≌△CND（ASA），

∴AM=CN，DM=DN，S△AMD=S△CND．

∴CM=BN．

∵四边形MDNC的面积=S△CDM+S△CDN=S△CDM+S△ADM=S△ADC．故为定值．

∵CM2+CN2=MN2，

∴BN2+AM2=MN2．

当MN∥AB时，MN平分∠CND．

∴正确的有：①②③．

故选A．