Question

如图所示,在△ABC中,∠A=90°,点D是BC的中点,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=90°,连接EF,求证:BE²+CF²=EF².

 

Answer

见解析.

【解析】

过点C作CG∥AB交ED的延长线于点G,连接FG，易证△BDE≌△CDG，可得DE=DG,BE=CG，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理可得CG2+CF2=FG2，根据等量代换即可解题．

如图,过点C作CG∥AB交ED的延长线于点G,连接FG.

 ∵CG∥AB,

∴∠B=∠DCG,∠BED=∠DGC.

 ∵BD=CD,

∴△BDE≌△CDG,(AAS)

 ∴DE=DG,BE=CG.

 ∵∠EDF=90°,

∴DF垂直平分EG,

 ∴EF=FG.

 ∵∠A=90°,

∴∠B+∠DCF=180°-90°=90°,

 ∴∠DCF+∠DCG=∠FCG=90°.

 在Rt△CFG中,CG2+CF2=FG2,

 即BE2+CF2=EF2.