Question

如图，已知△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF.

求证：AE²＋BF²=EF².

Answer

证明见解析

【解析】

过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，根据平行线的性质得到∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B，通过“边角边”证明△ADM≌△BDF，则AM=BF，MD=DF，再根据“三线合一”得到EF=EM，在Rt△AEM中利用勾股定理即可得证.

证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，

∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B，
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF（SAS），
∴AM=BF，MD=DF，
又∵DE⊥DF，

∴EF=EM，
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．