Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P．

（1）求PD的长度；

（2）连结PC，求PC的长度．

Answer

（1）2；（2）

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质得到AD=2，再证明∠APD=∠DAP=45°，由等角对等边即可得出结论；

（2）过点P作PF⊥AC，垂足为点F．由角平分线的性质定理得到PD =PF=2，进而得到AF、FC的长．在Rt△CFP中，由勾股定理即可得出结论．

（1）∵AB=4，DE垂直平分AB，∴AD=AB =2．

又∵∠BAC=90°，AP平分∠BAC，∴∠DAP=∠CAP=∠BAC=45°，∴∠APD=∠DAP=45°，∴PD=AD=2．

（2）过点P作PF⊥AC，垂足为点F．

∵AP平分∠BAC，PD⊥AC，∴PD =PF=2．

∵∠CAP=45°，∴∠APF=45°，∴AF=PF=2．

又∵AC=3，∴FC=1．

在Rt△CFP中，PC=．