Question

如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC=，且∠BAC=120°，点D是线段BC上的一动点(不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE=30°，DE交AC于点E．

（1）求证：∠BAD∠EDC；

（2）当BD=    时，△ABD≌△EDC，并说明理由．

（3）当△ADE是直角三角形时，求AD的长？

Answer

（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）或1

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出∠B=30°，然后根据三角形外角的性质即可得出结论；

（2）先求出DC的长，可得到AB=DC．根据ASA即可证明△ABD≌△EDC；

（3）分两种情况讨论：①当∠DAE=90°时，△CAD是含30°角的直角三角形，可得出AC=AD=2，求出AD的长即可．

②当∠DEA=90°时，∠DAE=∠BAD=60°，得到△ABD是含30°角的直角三角形，即可得到AD的长．

（1）∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°．

又∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．

又∵∠ADE=30°，∴∠BAD=∠EDC．

（2）当BD=时，△ABD≌△EDC．理由如下：

∵BD=，BC=，∴DC==2，∴AB=DC．

在△ABD和△EDC中，∵∠B=∠C，AB=DC，∠BAD=∠EDC，∴△ABD≌△EDC．

（3）①当∠DAE=90°时．

∵∠C=30°，∴AC=AD=2，∴AD==．

②当∠DEA=90°时，∠DAE=∠BAD=60°．

又∵∠B=30°，∴∠ADB=90°，∴AD=AB=1．

综上所述：当△ADE 是直角三角形时，AD=或1．