Question

如图，在△ABC中,D为边BC的中点,AB=5,AD=6,AC=13.求证：AB⊥AD.

Answer

见解析.

【解析】

延长AD至点E，使DE=AD，连接CE，BE，利用SAS可证明△ADC≌△EDB，从而可得BE=AC=13，继而可利用勾股定理逆定理证明△ABE是直角三角形从而问题得证.

延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，

∵D为BC的中点，∴CD=BD，

又∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，

∴△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=13，

在△ABE中，AE=2AD=12，

∴AE2+AB2=122+52=169，

又∵BE2=132=169，

∴AE2+AB2=BE2，

∴△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，

即AB⊥AD.