Question

如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，沿A→B→C路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿O→E→D路线运动到点D停止．若P，Q两点同时出发，且点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s.

(1)直接写出B，C，D三个点的坐标；

(2)当P，Q两点出发s时，试求三角形PQC的面积；

(3)设两点运动的时间为ts，用含t的式子表示运动过程中三角形OPQ的面积S(单位：cm²)．

Answer

（1）B（4，5），C（4，2），D（8，2）；（2）；（3）S=．

【解析】

试题（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；

（2）先求出点P、Q的坐标，再求出CP、CQ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；

（3）分①0≤t＜4时点P在AB上，点Q在OE上，利用三角形面积公式列式即可；

②4≤t＜5时，点P在BC上，点Q在DE上，过点P作PM∥CD交DE的延长线于M，根据S△OPQ=S梯形OPMB﹣S△PMQ﹣S△OEQ，列式整理即可；

③5≤t≤7时，点P在BC上，点Q在CD上，过点P作PF∥CD，过点Q作QF∥OA交PF于F，交OE于G，S△OPQ=S梯形OPFG﹣S△PFQ﹣S△OGQ，列式整理即可得解．

【解析】
（1）B（4，5），C（4，2），D（8，2）；

（2）当t=s时，点P运动的路程为，

点Q运动的路程为×2=11，

所以，P（4，），Q（7，2），

∴CP=，CQ=3，

∴S△CPQ=CP•CQ=××3=；

（3）由题意得，

①当0≤t＜4时，（如图1）OA=5，OQ=2t，

S△OPQ=OQ•OA=×2t×5=5t；

②当4≤t＜5时，（如图2）OE=8，EM=9﹣t，PM=4，MQ=17﹣3t，EQ=2t﹣8，

S△OPQ=S梯形OPMB﹣S△PMQ﹣S△OEQ，

=（4+8）×（9﹣t）﹣×4（17﹣3t）﹣×8（2t﹣8），

=52﹣8t；

③当5≤t≤7时，（如图3）PF=14﹣2t，FQ=7﹣t，QG=2，OG=18﹣2t，FG=9﹣t，

S△OPQ=S梯形OPFG﹣S△PFQ﹣S△OGQ，

=×（14﹣2t+18﹣2t）×（9﹣t）﹣×（14﹣2t）（7﹣t）﹣（18﹣2t）×2，

=t2﹣18t+77，

综上所述，S=．