Question

如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是 的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．

（1）求证：GP＝GD；

（2）求证：P是线段AQ的中点；

（3）连接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径和CE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）半径为；CE=；

【解析】

（1）结合切线的性质以及已知得出∠GPD=∠GDP，进而得出答案；

（2）利用圆周角定理得出PA，PC，PQ的数量关系进而得出答案；

（3）直接利用勾股定理结合三角形面积进而得出答案．

（1）证明：连接OD，则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，

∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°，

∴∠GPD=∠GDP；

∴GP=GD；

（2）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵CE⊥AB于E，

∴∠CEB=90°，

∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°，

∴∠ACE=∠ABC=∠CAP，

∴PC=PA，

∵∠ACB=90°，

∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°，

∴∠PCQ=∠CQA，

∴PC=PQ，

∴PA=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点；

（3）连接CD，

∵弧AC=弧CD，

∴CD=AC，

∵CD=2，

∴AC=2，

∵∠ACB=90°，

∴AB==，

故⊙O的半径为，

∵CE×AB=AC×BC，

∴CE=2×4，

∴CE=．