Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．

（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为3，BC＝4，求CE的长．

Answer

（1）DE与⊙O相切，证明详见解析；（2）EC＝1.

【解析】

（1）连接OD，由题意可得∠CBD=∠ODB=∠DBO，可得OD∥BE，可证DE⊥OD，即可证DE与⊙O相切；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接DC，由题意可证Rt△DFA≌Rt△DEC，Rt△DBF≌Rt△DBE，可得AF=EC，BF=BE，即可求EC的长．

【解析】
（1）DE与⊙O相切

理由如下：连接OD

∵OB＝OD

∴∠OBD＝∠ODB

∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，

∴∠ABD＝∠CBD

∴∠CBD＝∠ODB

∴OD∥BE

∵DE⊥BC于点E．

∴DE⊥OD

∴DE与⊙O相切

（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接DC，

∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥BE，DF⊥AB

∴DF＝DE，

∴AD＝CD

∵AD＝CD，DF＝DE

∴Rt△DFA≌Rt△DEC（HL）

∴AF＝EC

∵DF＝DE，DB＝DB

∴Rt△DBF≌Rt△DBE（HL）

∴BF＝BE

∵BA＝BF+AF＝BE+AF＝BC+EC+CE＝6

∴4+2CE＝6

∴EC＝1