Question

如图，直线OA的解析式为y＝3x，点A的横坐标是﹣1，OB＝，OB与x轴所夹锐角是45°．

(1)求B点坐标；

(2)求直线AB的函数表达式；

(3)若直线AB与y轴的交点为点D，求△AOD的面积；

(4)在直线AB上存在异于点A的另一点P，使得△ODP与△ODA的面积相等，请直接写出点P的坐标．

Answer

(1)点B的坐标为(1，﹣1)；(2)y＝x﹣2；(3)S△AOD＝1；(4)点P的坐标为(1，﹣1)．

【解析】

（1）过点B作BE⊥x轴于点E，则△BOE为等腰直角三角形，由此得出OE=BE、OB=OE，结合OB=即可得出OE=BE=1，再根据点B所在的象限即可得出点B的坐标；
（2）由点A的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的函数表达式；
（3）将x=0代入直线AB的函数表达式中即可求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出△AOD的面积；
（4）由△ODP与△ODA的面积相等可得知xP=-xA，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．

【解析】
(1)过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．

∵∠BOE＝45°，BE⊥OE，

∴△BOE为等腰直角三角形，

∴OE＝BE，OB＝OE．

∵OB＝，

∴OE＝BE＝1，

∴点B的坐标为(1，﹣1)．

(2)当x＝﹣1时，y＝﹣3，

∴点A的坐标为(﹣1，﹣3)．

设直线AB的表达式为y＝kx+b(k≠0)，

将(﹣1，﹣3)、(1，﹣1)代入y＝kx+b，

，解得： ，

∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣2．

(3)当x＝0时，y＝﹣2，

∴点D的坐标为(0，﹣2)，

∴S△AOD＝OD•|xA|＝×2×1＝1．

(4)∵△ODP与△ODA的面积相等，

∴xP＝﹣xA＝1，

当x＝1时，y＝1﹣2＝﹣1，

∴点P的坐标为(1，﹣1)．