Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE． 

（1）求证：△DEF是等腰三角形   

（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数   

（3）若∠DEF=∠A，FD=4，求△DEF的周长

Answer

（1）见解析；（2）65°；（3）12

【解析】

（1）根据等腰三角形性质等边对等角得∠1=∠2，由全等三角形判定SAS得△BDE≌△CEF，由全等三角形性质得DE=EF，根据等腰三角形的判定即可得证.

（2）由（1）知△BDE≌△CEF，根据全等三角形的性质可得∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理∠BED+∠CEF=115°，在由三角形内角和定理即可求得答案.

（3）由（1）知△BDE≌△CEF，根据全等三角形的性质可得∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，又三角形内角和定理可得∠B=∠DEF，根据等边三角形的判定得△ABC为等边三角形，△DEF为等边三角形，从而求得答案.

（1）证明：∵AB=AC，

∴∠1=∠2，

在△BDE和△CEF中，

∵，

∴△BDE≌△CEF（SAS），

∴DE=EF，

∴△DEF为等腰三角形.

（2）【解析】
由（1）知△BDE≌△CEF，

∴∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，

又∵∠A=50°，AB=AC，

∴∠B=∠C=65°，

∴∠BED+∠BDE=115°，

即∠BED+∠CEF=115°，

∵∠BED+∠CEF+∠DEF=180°，

∴∠DEF=180°-∠BED-∠CEF，

=180°-115°，

=65°.

（3）【解析】
由（1）知△BDE≌△CEF，

∴∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，

∵∠BED+∠BDE+∠B=180°，∠BED+∠CEF+∠DEF=180°，

∴∠B=∠DEF，

∵∠A=∠DEF，AB=AC，

∴∠A=∠B=∠C，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠DEF=60°，

又∵DE=EF，

∴△DEF为等边三角形，

∵FD=4，

∴C△DEF=3×4=12.