Question

一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，9），并且与直线y=x相交于点B，与x轴相交于点C．

（1）若点B的横坐标为3，求B点的坐标和k，b的值；

（2）在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P，B，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在直线y=kx+b上是否存在点Q，使△OBQ的面积等于？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）B（3，5），，b=9；（2）P1（0，9+），P2（0，9﹣）， P3（0，），

P4（0，）；（3）Q（，）或（，）．

【解析】

（1）先根据函数y=x求出B点坐标，再利用待定系数法求出k，b的值；

（2）先将两个函数组成方程组求得B点坐标，然后求出线段AB的长，再分别以A，B，P为顶点分类讨论得到P点的坐标；

（3）设Q点横坐标为a，根据点Q，C在直线上，得到Q，C的坐标，然后分情况讨论Q点的位置，再利用三角形面积公式求解得到a的值，从而得到Q点的坐标.

【解析】
（1）当x=3时，y=x=×3=5，即B（3，5），

把A（0，9），B（3，5）代入y=kx+b得到，

解得．

（2）由,解得，即B（，），

∴AB=．

①以A为顶点时，AB=AP,（1）P点在A点上方，P1（0，9+），

（2）P点在A点下方，P2（0，9﹣）；

②以B为顶点时，BA=BP，P3（0，）；

③以P为顶点时，PA=PB，P4（0，）．

（3）设Q点的横坐标为a，

∵Q，C在直线上，

∴Q（a，ka+9），C（﹣，0），

①当Q点在B点右侧时，

S△DBQ=×（﹣）×（﹣ka﹣9）=，

∴a=，

代入函数解得：Q（，）；

②当Q在点B左侧时，

S△BDQ=×（﹣）×（ka+9﹣）=，

∴a=，

代入函数解得：Q（，），

综上所述，Q（，）或，．