Question

如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC.

(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；

(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)∠A＝60°；(2)存在，∠DFB＝∠DBF.

【解析】

（1）根据角平分线的定义得到∠EBC=2∠DBC=60°，∠ABC=2∠EBC=120°，根据平行线的性质得到∠A+∠ABC=180°，于是得到结论；

（2）设∠DBC=x°，则∠ABC=2∠ABE=（4x）°，根据已知条件得到∠ABF=（x-90）°，求得∠DBF=（90-x）°，根据平行线的性质得到∠DFB+∠CBF=180°，于是得到∠DFB=（90-x）°，即可得到结论．

【解析】
(1)∵BD平分∠EBC，∠DBC＝30°，

∴∠EBC＝2∠DBC＝60°.

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠EBC＝120°.

∵AD∥BC，

∴∠A＋∠ABC＝180°，

∴∠A＝60°.

(2)存在∠DFB＝∠DBF.理由如下：

设∠DBC＝x°，则∠ABC＝2∠ABE＝(4x)°.

∵7∠DBC－2∠ABF＝180°，

∴(7x)°－2∠ABF＝180°，

∴∠ABF＝（x-90）°，

∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝（x+90）°，

∠DBF＝∠ABC－∠ABF－∠DBC＝（90-x）°.

∵AD∥BC，

∴∠DFB＋∠CBF＝180°，

∴∠DFB＝（90-x）°，

∴∠DFB＝∠DBF.