Question

如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．

（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；

（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．

Answer

（1）证明见解析（2）BF=（AB﹣AC）．

【解析】试题（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE=EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；

（2）先证明BF=DE=BG，再证明AG=AC，可得到BF=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）．

（1）证明：延长CE交AB于点G，

∵AE⊥CE，

∴∠AEG=∠AEC=90°，

在△AEG和△AEC中，

∴△AGE≌△ACE（ASA）．

∴GE=EC．

∵BD=CD，

∴DE为△CGB的中位线，

∴DE∥AB．

∵EF∥BC，

∴四边形BDEF是平行四边形．

（2）【解析】
BF=（AB﹣AC）．

理由如下：

∵四边形BDEF是平行四边形，

∴BF=DE．

∵D、E分别是BC、GC的中点，

∴BF=DE=BG．

∵△AGE≌△ACE，

∴AG=AC，

∴BF=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）．