Question

如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．

（1）求证：四边形BEDF为菱形；

（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）S四边形BEDF＝6.

【解析】

（1）由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；

（2）过点D作DH⊥BC于点H，由题意可得BD=CD=6，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，可求DH=3，即可求DF=BF的长，即可得菱形BEDF的面积．

（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形．

∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBF．

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBF∠ABC，∴∠ABD=∠EDB，∴DE=BE且四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF为菱形．

（2）如图：过点D作DH⊥BC于点H．

∵∠A=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∴∠DBC=30°=∠C，∴DB=DC=6．

∵DH⊥BC，∠C=30°，∴DC=2DH=6，∴DH=3．

∵DF∥AB，∴∠A=∠FDC=90°，且∠C=30°，DC=6，∴DCDF，∴DF=2．

∵四边形BEDF为菱形，∴BF=DF=2，∴S四边形BEDF=BF×DH=23=6．