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如图,射线AM平行于射线BN,∠B=90°,AB=4,C是射线BN上的一个动点,...

如图,射线AM平行于射线BN,∠B=90°AB=4C是射线BN上的一个动点,连接AC,作CDAC,且AC=2CD,过CCEBNAD于点E,设BC长为a

1)求△ACD的面积(用含a的代数式表示);

2)求点D到射线BN的距离(用含有a的代数式表示);

3)是否存在点C,使△ACE是以AE为腰的等腰三角形?若存在,请求出此时a的值;若不存在,请说明理由.

 

(1);(2)a;(3)存在,a的值为2或4+8 【解析】 试题(1)先根据勾股定理得出AC,进而得出CD,最后用三角形的面积公式即可; (2)先判断出∠FDC=∠ACB,进而判断出△DFC∽△CBA,得出,即可求出DF,即可; (3)分两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论. 【解析】 (1)在Rt△ABC中,AB=4,BC=a, ∴AC==, ∴CD=AC=, ∵∠ACD=90°, ∴S△ACD=AC•CD=. (2)如图1,过点D作DF⊥BN于点F, ∵∠FDC+∠FCD=90°,∠FCD+∠ACB=180°﹣90°=90°, ∴∠FDC=∠ACB, ∵∠B=∠DFC=90°, ∴∠FDC=∠ACB, ∵∠B=∠DFC=90°, ∴△DFC∽△CBA, ∴, ∴DF=BC=a, ∴D到射线BN的距离为a; (3)存在,①当EC=EA时, ∵∠ACD=90°, ∴EC=EA=AD, ∵AB∥CE∥DF, ∴BC=FC=a, 由(2)知,△DFC∽△CBA, ∴, ∴FC=AB=2, ∴a=2, ②当AE=AC时,如图2,AM⊥CE, ∴∠1=∠2, ∵AM∥BN, ∴∠2=∠4, ∴∠1=∠4, 由(2)知,∠3=∠4, ∴∠1=∠3, ∵∠AGD=∠DFC=90°, ∴△ADG∽△DCF, ∴, ∵AD==,AG=a+2,CD=, ∴, ∴a=4+8, 即:满足条件的a的值为2或4+8.
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