Question

如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AC上一点，AG⊥BE，垂足为G，AG与BO相交于F，求证OE=OF．

证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE=∠AOF=，且OA=OB．又∵AG⊥BE，∴∠1+∠3=．即∠1=∠2．∴Rt△BOE≌Rt△AOF．∴OE=OF．

问题：（1）根据你的理解，上述证明思路的核心，是利用         ，使问题得以解决．而证明过程中的关键是证明出           ．

（2）若上述命题改为：点E在AC的延长线上，AG⊥BE交EB的延长线于点G，延长线AG交DB的延长线于点F，如图2所示，其他条件不变，证明OE=OF．

Answer

（1）全等的两个三角形的对应边相等；证明Rt△BOE≌Rt△AOF；（2）详见解析.

【解析】

根据正方形的性质利用ASA判定△AOF≌△BOE，根据全等三角形的对应边相等得到OE＝OF；同理第二问也一样．

（1）本题的思路是：利用全等的两个三角形的对应边相等；关键是：证明Rt△BOE≌Rt△AOF．

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE=∠AOF=，且OA=OB．又AG⊥BE，∴∠OAF+∠OEB=，又∵∠OBE+∠OEB=，∴∠OBE=∠OAF．∴Rt△BOE≌Rt△AOF．∴OE=OF．