Question

已知：如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上的一个动点，连接OC，以OC为边在它的左侧作正方形OCDE连接BE、CE．

（1）当点C横坐标为4时，求点E的坐标；

（2）若点C横坐标为t，△BCE的面积为S，请求出S关于t的函数解析式；

（3）当点C在线段AB上运动时，点E相应随之运动，请求出点E所在的函数解析式．

Answer

（1）（﹣2，4）；（2）S＝﹣t2+6t；（3）y＝x+6

【解析】

(1)作CF⊥OA于F，EG⊥x轴于G．只要证明△CFO≌△OGE即可解决问题；

(2)只要证明△EOB≌△COA，可得BE＝AC，∠OBE＝∠OAC＝45°，推出∠EBC＝90°，即EB⊥AB，由C(t，﹣t+6)，可得BC＝t，AC＝BE＝(6﹣t)，根据S＝•BC•EB，计算即可；

(3)由(1)可知E(t﹣6，t)，设x＝6﹣t，y＝t，可得y＝x+6．

【解析】
(1)作CF⊥OA于F，EG⊥x轴于G．

∴∠CFO＝∠EGO＝90°，

令x＝4，y＝﹣4+6＝2，

∴C(4，2)，

∴CF＝2，OF＝4，

∵四边形OCDE是正方形，

∴OC＝OE，OC⊥OE，

∵OC⊥OE，

∴∠COF+∠EOG＝90°，∠COF+∠OCF＝90°，

∴∠EOG＝∠OCF，

∴△CFO≌△OGE，

∴OG＝OF＝4，OG＝CF＝2，

∴G(﹣2，4)．

（2）∵直线y＝﹣x+6交y轴于B，

∴令x＝0得到y＝6，

∴B(0，6)，

令y＝0，得到x＝6，

∴A(6，0)，

∴OA＝OB＝6，∠OAB＝∠OBA＝45°，

∵∠AOB＝∠EOC＝90°，

∴∠EOB＝∠COA，

∵OE＝OC，

∴△EOB≌△COA，

∴BE＝AC，∠OBE＝∠OAC＝45°，

∴∠EBC＝90°，即EB⊥AB，

∵C(t，﹣t+6)，

∴BC＝t，AC＝BE＝(6﹣t)，

∴S＝•BC•EB＝×t•(6﹣t)＝﹣t2+6t．

(3)当点C在线段AB上运动时，由(1)可知E（t﹣6，t），

设x＝6﹣t，y＝t，

∴t＝x+6，

∴y＝x+6．

故答案为：(1)(﹣2，4)；(2)S＝﹣t2+6t；(3)y＝x+6.