Question

如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA＝BC．

（1）证明：四边形DEFG为菱形；

（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）当AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，证明见解析

【解析】

（1）利用三角形中位线定理推知ED∥FG，ED＝FG，则由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形DEFG是平行四边形，同理得EF＝HA＝BC＝DE，可得结论；

（2）AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，通过证明△DCB≌△EBC（SAS），得HC＝HB，证明对角线DF＝EG，可得结论．

（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点，

∴ED∥BC，ED＝BC．

同理FG∥BC，FG＝BC，

∴ED∥FG，ED＝FG，

∴四边形DEFG是平行四边形，

∵AE＝BE，FH＝BF，

∴EF＝HA，

∵BC＝HA，

∴EF＝BC＝DE，

∴▱DEFG是菱形；

（2）【解析】
猜想：AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，

理由是：∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，

∴CD＝AC，BE＝AB，

∴CD＝BE，

在△DCB和△EBC中，

∵

∴△DCB≌△EBC（SAS），

∴∠DBC＝∠ECB，

∴HC＝HB，

∵点G、F分别为HC、HB的中点，

∴HG＝HC，HF＝HB，

∴GH＝HF，

由（1）知：四边形DEFG是菱形，

∴DF＝2FH，EG＝2GH，

∴DF＝EG，

∴四边形DEFG为正方形．

故答案为：（1）证明过程见解析；（2）当AC＝AB时，四边形DEFG为正方形.