Question

如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xO中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB＝15，对角线AC所在直线解析式为y＝﹣x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．

（1）求点B的坐标；

（2）求EA的长度；

（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）B（9，15）；（2）5；（3）存在，P（0，）

【解析】

（1）根据点C的坐标确定b的值，利用待定系数法求出点A坐标即可解决问题；

（2）在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，CD＝＝12，OD＝15﹣12＝3，设DE＝AE＝x，在Rt△DEO中，根据DE2＝OD2+OE2，构建方程即可解决问题；

（3）如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．利用待定系数法求出直线BE′的解析式即可解决问题；

【解析】
（1）∵AB＝15，四边形OABC是矩形，

∴OC＝AB＝15，

∴C（0，15），代入y＝y＝﹣x+b得到b＝15，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+15，

令y＝0，得到x＝9，

∴A（9，0），B（9，15）．

（2）在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，

∴CD＝＝12，

∴OD＝15﹣12＝3，

设DE＝AE＝x，

在Rt△DEO中，∵DE2＝OD2+OE2，

∴x2＝32+（9﹣x）2，

∴x＝5，

∴AE＝5．

（3）如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．

∵E（4，0），

∴E′（﹣4，0），

设直线BE′的解析式为y＝kx+b，则有

解得，

∴直线BE′的解析式为y＝x+，

∴P（0，）．

故答案为：（1）B（9，15）；（2）5；（3）存在，P（0，）.