Question

如图1，在△ABC和△MNB中，∠ACB＝∠MBN＝90°，AC＝BC＝4，MB＝NB＝2，点N在BC边上，连接AN，CM，点E，F，D，G分别为AC，AN，MN，CM的中点，连接EF，FD，DG，EG．

（1）判断四边形EFDG的形状，并证明；

（2）求FD的长；

（3）如图2，将图1中的△MBN绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，猜想此时四边形EFDG的形状，并证明．

Answer

（1）四边形EFDG是平行四边形，证明见解析；（2）FD＝；（3）四边形EFDG是正方形，证明见解析.

【解析】

（1）四边形EFDG是平行四边形，理由为：如图1，连接AM，由E、F、G、H分别为中

点，利用中位线定理得到两组对边相等，即可得证.

（2）如图1，过M点作MH⊥AB，交AB的延长线于点H，根据内错角相等，两直线平行，得到AC与BM平行，由三角形ACB与三角形MBN都为等腰直角三角形，由BC求出AB的长，进而求出BH的长，由AB＋BH求出AH的长，在直角三角形AMH中，利用勾股定理求出AM的长，利用中位线定理求出FD的长即可.

（3）四边形EFDG为正方形，理由为：如图2，连接CN，AM，分别交EF、CN于点L、点K，由CB－BM求出CM的长，得到CM＝BN，再由一对直角相等，AC＝BC，利用SAS得到△ACM≌△CBN，利用全等三角形对应边、对应角相等得到AM＝CN，∠CAM＝∠BCN，利用同角的余角相等，求出∠AKC为直角，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到四边形EFDG为平行四边形，再由一个内角为直角，且邻边相等即可得证.

（1）四边形EFDG是平行四边形，

证明：如图1，连接AM，

∵E、F、D、G分别为AC、AN、MN、CM的中点，

∴FD＝EG＝AM，EF＝GD＝CN，

∴四边形EFDG是平行四边形；

（2）如图1，过点M作MH⊥AB，交AB的延长线于点H，

∵∠ACB＝∠MBN＝90°，AC＝BC＝4，MB＝NB＝2，

∴AC∥BM，

∴∠MBH＝∠CAB＝45°，

∴AB＝，

∴BH＝MH＝MBsin45°＝，

∴AH＝AB＋BH＝4＋＝5，

在Rt△AMH中，由勾股定理得：AM＝＝＝2，

则FD＝AM＝；

（3）四边形EFDG是正方形，

证明：如图2，连接CN，AM，分别交EF、CN于点L与K，

由已知得：点M和点D分别落在BC与AB边上，

∴CM＝CB﹣BM＝4﹣2＝2，

∴CM＝BN，

∵∠ACM＝∠CBN＝90°，AC＝BC，

∴△ACM≌△CBN（SAS），

∴AM＝CN，∠CAM＝∠BCN，

∵∠ACK＋∠KCM＝90°，

∴∠ACK＋∠CAK＝90°，

在△ACK中，∠AKC＝180°﹣（∠ACK＋∠CAK）＝180°﹣90°＝90°，

由（1）可得EG∥AM∥FD，EF∥CN∥GD，

∴四边形EFDG是平行四边形，

∴∠GEL＝∠ELA＝∠AKC＝90°，

∴四边形EFDG是矩形，

∵EG＝AM＝CN＝EF，

∴四边形EFDG是正方形．