Question

在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°.

(1)如图(1)，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；

(2)若直线l向右平移到图(2)，图(3)的位置时（其它条件不变），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不需证明），若不成立，请说明理由；

(3)探究：如图(1)，当BD满足什么条件时（其它条件不变），EF=BF？请写出探究结果，并说明理由.

Answer

(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

(1)先判断出∠BPF=∠EBF=60°，再结合公共角即可得出结论；

(2)同(2)的方法即可得出结论；

(3)由BD平分∠ABC得到∠ABP=∠PBF=30°，再由∠BPF=60°得到∠BEP=90°，从而得到∠BEF=30°，再利用锐角三角函数tan60°=即可得出结论．

（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD.

以△BPF∽△EBF为例，证明如下：

∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，

∴△BPF∽△EBF.

（2）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD成立.

（3）当BD平分∠ABC时，EF=BF.理由如下：

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABP=∠PBF=30°.

∵∠BPF=60°，

∴∠BEP=90°，

∴∠BEF=60°-30°=30°.

在Rt△BEF中，∠EBF=60°，

∴tan60°=，即EF=BF.