Question

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x²﹣2x+4交y轴于点B，过点B作AB∥x轴交抛物线于点A，连接OA.将该抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），则m的取值范围是（　　）

A. 1＜m＜5    B. 1＜m＜4    C. 1＜m＜3    D. 1＜m＜2

Answer

C

【解析】

设原抛物线的顶点为D，过点D作DE⊥AB于点E交AO于点F．先根据抛物线的解析式求出点B的坐标，再利用对称性求出点A的坐标，再利用二次函数的顶点坐标，根据AB的中点E的坐标以及F点的坐标即可得出m的取值范围．

【解析】
如图，设原抛物线的顶点为D，过点D作DE⊥AB于点E交AO于点F．

∵y=﹣x2﹣2x+4=﹣（x+1）2+5，

∴B（0，4），D（﹣1，5），对称轴为直线x=﹣1，

∵AB∥x轴交抛物线于点A，

∴A的坐标（﹣2，4），

∴AB的中点E的坐标是（﹣1，4），

∵OA的中点是F，

∴F的坐标是（﹣1，2），

当D点平移到E点时，平移后得到的抛物线顶点不在△OAB的内部，再继续往下平移正好进入△OAB的内部，

当D点平移到F点时，平移后得到的抛物线顶点正好不在△OAB的内部，

∴m的取值范围是：1＜m＜3．

故选：C．