Question

在平面直角坐标系中，设二次函数y₁=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．

（1）若函数y₁的图象经过点（1，﹣2），求函数y₁的表达式；

（2）若一次函数y₂=ax+b的图象与y₁的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

（3）已知点P（x₀，m）和Q（1，n）在函数y₁的图象上，若m＜n，求x₀的取值范围．

Answer

（1）函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2（2）a=b或b=-2a（3）x0的取值范围x0＜0或x0＞1

【解析】

试题（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案

（3）根据二次函数的性质，可得答案．

试题解析：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得

（a+1）（﹣a）=﹣2，

解得a=﹣2，a=1，

函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；

函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，

综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；

（2）当y=0时x2﹣x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=2，

y1的图象与x轴的交点是（﹣1，0）（2，0），

当y2=ax+b经过（﹣1，0）时，﹣a+b=0，即a=b；

当y2=ax+b经过（2，0）时，2a+b=0，即b=﹣2a；

（3）当P在对称轴的左侧时，y随x的增大而增大，

（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，

由m＜n，得x0＜0；

当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，

由m＜n，得x0＞1，

综上所述：m＜n，求x0的取值范围x0＜0或x0＞1．