Question

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，点D在BC上．且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．

（1）求证：∠AEC=∠C；   

（2）求证：BD=2AC；   

（3）若AE=8.5，AD=8，求△ABE的周长．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）32

【解析】

（1）首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=BE=ED，再根据等边对等角可得∠B=∠BAE，从而可得∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，再由条件∠C=2∠B可得结论；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=BE=ED=DB，再证明AE=AC即可；

（3）首先利用勾股定理计算出2AB的长，然后可得答案；

（1）证明：∵AD⊥AB，E为BD中点，

∴AE=BE=DE=BD，

∴∠B=∠BAE，

又∵∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，∠C=2∠B，

∴∠AEC=∠C.

（2）证明：由（1）知：

∠AEC=∠C，

∴AE=AC=BD，

∴BD=2AC.

（3）【解析】
∵AE=8.5，

∴BD=17，BE=8.5，

在Rt△BAD中，

∵AD=8，

∴AB==15，

∴C△ABE=AB+AE+AB，

=2×8.5+15，

=32.