Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于点A，点B，OA=2，AB=2，直线OC经过线段AB的中点C，另一动直线L垂直于x轴，从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线L分别交线段AB，直线OC于点D，E，以DE为斜边向左侧作等腰Rt△DEF，当直线L经过点A时，直线L停止运动，设直线L的运动时间为t(秒) 

（1）直接写出：点B的坐标是________  ，直线OC的解析式是 ________ ：   

（2）当0≤t≤1时，请用含t的代数式表示线段DE的长度：

（3）直线L平移过程中，是否存在点F，使△FOC为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) （0，4）,y=2x;(2)DE=4-4t;(3) 存在点F，使得△FOC为等腰三角形，F（-， 2）或F（-1，2）或F（1-， 2）,理由见解析

【解析】

（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理可求出OB的长，进而可得出点B的坐标，由点A，B的坐标结合点C为线段AB的中点，可求出点C的坐标，进而可求出直线OC的解析式；

（2）找出当0≤t≤1时，点D，E的坐标，进而可求出线段DE的长度；

（3）过点F作FM⊥DE于点M，利用等腰直角三角形的性质可求出点F的坐标，设点F的坐标为（m，n），则n=2，-2≤m≤1，分OF=OC，FO=FC及CO=CF三种情况考虑，利用等腰三角形的性质可得出关于m的一元二次（一元一次）方程，解之可得出m的值，进而可得出点F的坐标．

（1）在Rt△AOB中，OA=2，AB=2，

∴OB==4，

∴点B的坐标为（0，4），点A的坐标为（2，0）．

∵点C为线段AB的中点，

∴点C的坐标为（1，2），

∴直线OC的解析式为y=2x．

故答案为：（0，4）；y=2x．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），

将A（2，0），B（0，4）代入y=kx+b，得：，

解得：，

∴直线AB的解析式为y=-2x+4．

当0≤t≤1时，点D的坐标为（t，-2t+4），点E的坐标为（t，2t），

∴DE=-2t+4-2t=4-4t．

（3）过点F作FM⊥DE于点M，如图1所示．

∵△DEF为等腰直角三角形，

∴FM=DE．

当0≤t≤1时，DE=4-4t，点D的坐标为（t，-2t+4），

∴点F的坐标为（t-（4-4t），-2t+4-（4-4t）），即（3t-2，2）．

同理，当1＜t≤2时，点F的坐标为（t-（4t-4），-2t+4+（4t-4）），即（2-t，2）．

设点F的坐标为（m，n），则n=2，-2≤m≤1．

∵点C的坐标为（1，2），

∴OC==．

当OF=OC时，m2+22=5，

解得：m1=-1，m2=1（舍去），

此时点F的坐标为（-1，2）；

当FO=FC时，m2+22=（1-m）2，

解得：m=-，

∴此时点F的坐标为（-，2）；

当CO=CF时，1-m=，

解得：m=1-，

∴此时点F的坐标为（1-，2）．

综上所述：存在点F，使△FOC为等腰三角形，点F的坐标为（-1，2），（-，2）或（1-，2）．