Question

如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S_△BEF=.其中正确结论的个数是（   ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

C

【解析】

根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再由△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的，即可得答案．

如图，由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，

∴∠DFG=∠A=90°，

在Rt△ADG和Rt△FDG中，

，

∴Rt△ADG≌Rt△FDG，故①正确；

∵正方形边长是12，

∴BE=EC=EF=6，

设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，

由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，

即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，

解得：x=4

∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；

BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③错误；

∵S△GBE=×6×8=24，S△BEF：S△BGE=EF：EG，

∴S△BEF=×24=，

故④正确．

综上可知正确的结论是3个．

故选C．