Question

如图，将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD.则下列结论中：①△ADF是等边三角形；②tan∠EBF＝2－；③S_△ADF＝S_{正方形ABCD}；④BF²＝DF·EF.其中正确的是(　　)

A. ①②③    B. ①②④    C. ①③④    D. ②③④

Answer

B

【解析】

由正方形的性质得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得出MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由线段垂直平分线的性质得出FD=FA，得出△ADF是等边三角形，①正确；

设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，由等边三角形的性质得出∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=AM=2a，得出FN=MN-FM=（4-2）a，由三角函数的定义即可得出②正确；

求出△ADF的面积=AD•FM=4a2，正方形ABCD的面积=16a2，得出③错误；

求出∠BFE=∠DFB，∠BEF=∠DBF，证出△BEF∽△DBF，得出对应边成比例，得出④正确；即可得出结论．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，

由折叠的性质得：MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，

∴FD=FA，

∴AD=FD=FA，

即△ADF是等边三角形，①正确；

设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，

∵△ADF是等边三角形，

∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=AM=2a，

∴FN=MN-FM=（4-2）a，

∴tan∠EBF==2-，②正确；

∵△ADF的面积=AD•FM=×4a×2a=4a2，正方形ABCD的面积=（4a）2=16a2，

∴，③错误；

∵AF=AB，∠BAF=90°-60°=30°，

∴∠AFB=∠ABF=75°，

∴∠DBF=75°-45°=30°，∠BFE=360°-90°-60°-75°=135°=∠DFB，

∵∠BEF=180°-75°-75°=30°=∠DBF，

∴△BEF∽△DBF，

∴，

∴BF2=DF•EF，④正确；

故选B．