Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD面积的最大值为，其中正确的是______________.

Answer

②④⑤

【解析】

由三角形ABC与三角形ECD都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到AB=AC，CD=DE，且四个锐角为45°，利用等式的性质得到∠BCE=∠ACD，故选项②正确；根据B与E重合时，A与D重合，此时DE与AC垂直；当B，E不重合时，A，D也不重合，根据∠BAC与∠EDC都为直角，判断∠AFE与∠DFC是否锐角，即可对于选项①做出判断；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形BEC与三角形ADC相似，利用相似三角形对应角相等及等式的性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AD与BC平行，可得出选项④正确；由④的结论判断选项③即可；根据△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；由高一定，面积最大即为AD最长，故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，求出此时面积，即为最大面积，即可对于选项⑤做出判断．

∵△ABC，△ECD都为等腰直角三角形，

∴

∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，即∠BCE=∠ACD，故选项②正确；

当B，E重合时，A，D重合，此时DE⊥AC；

当B，E不重合时，A，D也不重合，由∠BAC与∠EDC都为直角，得到∠AFE与∠DFC必为锐角，故①错误；

④∵

∴

由①知∠ECB=∠DCA，

∴△BEC∽△ADC；

∴

∴,即AD∥BC，故④正确；

③∵由④知

∴

∵

∴，即∠BEC<∠EAD；

∴△EAD与△BEC不相似，故③错误；

⑤∵△ABC的面积为定值，

∴若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；

∵△ACD中，AD边上的高为定值，

∴若△ACD的面积最大，则AD的长最大；

由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；

故梯形ABCD面积最大时,E、A重合,此时

故S梯形ABCD=，故⑤正确.

故答案为：②④⑤.