Question

已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由.

Answer

点H是线段AB的黄金分割点；理由见解析.

【解析】

根据黄金分割点的定义，假设正方形ABCD的边长为2a，通过线段间的关系，找出用a表示的线段AH、AB，HB，证明AH2=ABHB即可．

设正方形ABCD的边长为2a，

在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，

由勾股定理知EB==a，

∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，

HB=AB﹣AH=（3﹣）a；

∴AH2=（6﹣2）a2，

ABHB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，

∴AH2=ABHB，

所以点H是线段AB的黄金分割点．