Question

小明在某次作业中得到如下结果：

sin²7°＋sin²83°≈0.12²＋0.99²＝0.9945，

sin²22°＋sin²68°≈0.37²＋0.93²＝1.0018，

sin²29°＋sin²61°≈0.48²＋0.87²＝0.9873，

sin²37°＋sin²53°≈0.60²＋0.80²＝1.0000，

sin²45°＋sin²45°＝＋＝1.

据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin²α＋sin²(90°－α)＝1.

(1)当α＝30°时，验证sin²α＋sin²(90°－α)＝1是否成立；

(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

Answer

(1)证明见解析；（2）成立，证明见解析

【解析】试题（1）将α=30°代入求值即可；（2）设∠A=α，∠B=90°-α，将∠A、∠B便可以是一个直角三角形的两个角，在直角三角形中利用正弦函数的定义及勾股定理即可验证.

解：(1)当α＝30°时，sin2α＋sin2(90°－α)＝sin230°＋sin260°＝（）2+（）2＝＋＝1.

(2)小明的猜想成立，证明如下：

如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°－α，

∴sin2α＋sin2(90°－α)＝（）2＋（）2＝＝＝1.

故猜想成立.