Question

定义：如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP²+BP²=AB²，则称点P为抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的勾股点．

（1）直接写出抛物线y=﹣x²+1的勾股点的坐标．

（2）如图2，已知抛物线C：y=ax²+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S_△ABQ=S_△ABP的Q点（异于点P）的坐标．

Answer

（1）抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；（2）y=﹣x2+x；（3）满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．

【解析】

试题（1）根据抛物线勾股点的定义即可得；

（2）作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG=1、PG=、PA=2，由tan∠PAB==知∠PAG=60°，从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得；

（3）由S△ABQ=S△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此求解可得．

试题解析：（1）抛物线的勾股点的坐标为（0，1）；

（2）抛物线过原点，即点A（0，0），如图，作PG⊥x轴于点G，∵点P的坐标为（1，），∴AG=1、PG=，PA= = =2，∵tan∠PAB==，∴∠PAG=60°，在Rt△PAB中，AB= = =4，∴点B坐标为（4，0），设y=ax（x﹣4），将点P（1，）代入得：a=﹣，∴y=﹣x（x﹣4）= ；

（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为，则有=，解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），∴点Q的坐标为（3，）；

②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣，则有=﹣，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；

综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．