Question

如图，在正五边形ABCDE中，对角线AC，BE相交于点F，F是线段BE、AC的黄金分割线吗？为什么？

Answer

见解析

【解析】

根据正五边形的性质得到∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，则利用三角形内角和和等腰三角形的性质计算出∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，易得∠CBF=72°，∠CFB=72°，所以CB=CF，再证明△ABF∽△ACB，则AB：AC=AF：AB，所以CF：AC=AF：CF，根据黄金分割的定义得到点F是线段AC的黄金分割点，用同样的方法可得F是线段BE的黄金分割点．

【解析】
F是线段BE、AC的黄金分割点．理由如下：

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，

∴∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，

∴∠CBF=72°，∠CFB=72°，

∴CB=CF，

∵∠ABF=∠ACB=36°，

∴△ABF∽△ACB，

∴AB：AC=AF：AB，

∴CF：AC=AF：CF，

∴点F是线段AC的黄金分割点，

同理可得F是线段BE的黄金分割点．