Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，交边AB的延长线于点N，连接BD.

(1)  求证：四边形DBEM是平行四边形；

(2)  连接CM，当四边形ABCM为平行四边形时，求证：MN=2DB.

Answer

(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

(1)首先根据三角形中位线定理可得EF∥BD，再有条件AD∥BC，可根据两边互相平行的四边形是平行四边形，可判定四边形DBEM是平行四边形；

(2) 首先根据平行线分线段成比例定理可得 ，再根据BE=CE，可得BN=CM，进而得到AB=BN，再由EF∥BD，可得=，进而得到MN=2DB．

证明：(1) ∵点E、F分别是边BC、CD的中点，

∴EF∥BD，

又∵AD∥BC，

∴四边形DBEM是平行四边形；

(2) ∵四边形ABCM为平行四边形，

∴AB=CM，AB∥CM，

∴，

∵BE=CE，

∴BN=CM，

∴AB=BN，

∵EF∥BD，

∴=．

∴MN=2DB．