Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；   

（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer

（1）当t=1或t=时，△BPQ与△ABC相似；（2）t=.

【解析】

试题（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；

（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．

试题解析：根据勾股定理得：BA=＝10；

（1）分两种情况讨论：

①当△BPQ∽△BAC时，

∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，

∴，解得，t=1，

②当△BPQ∽△BCA时，

∴，解得，t=；

∴t=1或时，△BPQ∽△BCA；

（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：

则PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，

∴∠NAC=∠PCM，

∵∠ACQ=∠PMC，

∴△ACQ∽△CMP，

∴

∴，解得t=．