Question

如图，∠AOB＝α，∠COD＝β（α＞β），OC与OB重合，OD在∠AOB外，射线OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线．

（1）①若α＝100°，β＝60°，则∠MON等于多少；

②在①的条件下∠COD绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜100（且n≠60）时，求∠MON的度数；

（2）直接写出∠COD绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜360）时∠MON的值（用含α、β的式子表示）．

Answer

（1）①∠MON＝80°；②∠MON＝80°；（2）∠MON＝（α+β）或180°﹣（α+β）．

【解析】

（1）①根据角平分线的定义求出∠BOM和∠CON的度数，然后相加即可得出答案；

②根据旋转的性质可知∠BOC=n°，分两种情况进行讨论：如图1，∠BOD＝60°﹣n°，∠AOC＝100°﹣n°，根据角平分线的定义得出∠COM和∠BON的度数，然后根据∠MON＝∠COM+∠COB+∠BON进行计算即可得出结论；如图2，∠BOD＝n°﹣60°，∠AOC＝100°﹣n°，根据角平分线的定义得出∠COM和∠BON的度数，然后根据∠MON＝∠COM+∠COD+∠BON进行计算即可得出结论；

（2）根据①、②的解题思路即可得到结论．

（1）①∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，

∴∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，

∴∠MON＝（∠AOB+∠BOD），

又∵∠AOB＝100°，∠COD＝60°，

∴∠MON＝（∠AOB+∠BOD）＝×（100°+60°）＝80°．

②如图1，∵∠COD绕点O逆时针旋转n°，

∴∠BOC＝n°，

∴∠BOD＝60°﹣n°，∠AOC＝100°﹣n°，

∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，

∴∠COM＝∠AOC＝50°﹣n°，∠BON＝∠BOD＝30°﹣n°，

∴∠MON＝∠COM+∠COB+∠BON＝80°；

如图2，∵∠COD绕点O逆时针旋转n°，

∴∠BOC＝n°，

∴∠BOD＝n°﹣60°，∠AOC＝100°﹣n°，

∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，

∴∠COM＝∠AOC＝50°﹣n°，∠DON＝∠BOD＝n°﹣30°，

∴∠MON＝∠COM+∠COD+∠DON＝80°；

（2）∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β，

∴∠MON＝（α+β）或180°﹣（α+β）；