Question

已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°

①求证：MN＝BM+DN；

②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题（1）将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，根据正方形的性质和且∠MAN=45°可进行证明．
（2）证明△BFA∽△DAE，根据相似三角形的对应边成比例，可列出函数式．

试题解析：（1）证明：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，如图，

∵∠M′AN=∠DAN+∠MAB=45°，AM′=AM，BM=DM′，
∵M′AN=∠MAN=45°，AN=AN，
∴△AMN≌△AM′N′，
∴MN=NM′，
∴M′N=M′D+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN．
（2）【解析】
∵∠AED=45°+∠BAE，∠FAB=45°+∠BAE，
∴∠AED=∠FAB，
∵∠ABF=∠ADE，
∴△BFA∽△DAE，
∴，
∴，
∴y=.