Question

将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A₁CB₁＝∠ACB＝90°，∠A₁＝∠A＝30°．

（1）将图1中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P₁是A₁C与AB的交点，点Q是A₁B₁与BC的交点，求证：CP₁＝CQ；

（2）在图2中，若AP₁＝a，则CQ等于多少？

（3）将图2中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转到△A₂B₂C（如图3），点P₂是A₂C与AP₁的交点．当旋转角为多少度时，有△AP₁C∽△CP₁P₂？这时线段CP₁与P₁P₂之间存在一个怎样的数量关系？．

Answer

1. ⑴证明：∵∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°；

又B1C＝BC，∠B1＝∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）∴CQ＝CP1

2. ⑵【解析】
作P1D⊥AC于D，∵∠A＝30°∴P1D＝AP1；

∵∠P1CD＝45°，∴＝sin45°＝，∴CP1＝P1D＝AP1；

又AP1＝，CQ＝CP1 ，∴CQ＝

3. ⑶【解析】
当∠P1CP2＝∠P1AC＝30°时，由于∠CP1P2＝∠AP1C，

则△AP1C∽△CP1P2， 这时，

∴P1P2＝CP1 ．

【解析】

试题（1）根据△A1B1C和△ABC是两个完全一样的三角形，顺时针旋转45°两个条件证明△B1CQ≌△BCP1，然后可求证：CP1=CQ；

（2）作P1D⊥AC于D，根据∠A=30，∠P1CD=45°分别求出P1D=AP1，CP1=P1D=AP1，而AP1=a可求CQ．

（3）当△A P1C∽△CP1P2时，∠P1CP2=∠P1AC=30°，再根据相似求出CP1与P1P2之间存在的数量关系；

试题解析：

（1）∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，

∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；

又B1C=BC，∠B1=∠B，

∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）

∴CQ=CP1；

（2）如图：作P1D⊥AC于D，

∵∠A=30°，

∴P1D=AP1；

∵∠P1CD=45°，

∴=sin45°=，

∴CP1=P1D=AP1；

又AP1=a，CQ=CP1，

∴CQ=a；

（3）当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，

所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2．

这时==，

∴P1P2=CP1．