Question

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．

（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；

（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．

①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？

②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） 若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2t. 则 ＝＝，

又 ∵ AO＝10，AB＝20，∴ ＝＝.∴ ＝，

又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO，∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC. ………………4分

当5﹤t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC（考虑一种情况即可）

∴ 在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.

（2）① 如图，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，

QM＝20－4t.

由AQ＋QM＝AM 得2t＋20－4t＝

解得t＝，∴ 当t＝时，点P、M、N在一直线上. …………………………8分

② 存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.

设l交AC于H.

如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°.

∴ MH＝2NH，得 20－4t－＝2× 解得t＝2， …………………10分

如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.∴ MH＝2PH，同理可得t＝ .

故 当t＝2或 时，存在以PN为一直角边的直角三角形. …………………12分

【解析】

（1）此问需分两种情况，当0＜t≤5及5＜t≤10两部分分别讨论得PQ⊥AC．

（2）①由于点P、M、N在一直线上，则AQ+QM=AM，代入求得t的值．

②假设存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论．

解答：【解析】
（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2t．

则==，

又∵AO=10，AB=20，∴==．

∴=．又∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．

∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．

当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．

∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．

（2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，

∴AM=．

在△APQ中，∠AQP=90°，

∴AQ=AP?cos30°=2t，

∴QM=AC-2AQ=20-4t．

由AQ+QM=AM得：2t+20-4

t=，

解得t=．

∴当t=时，点P、M、N在一直线上．

②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．

设l交AC于H．

如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．

∴MH=2NH．得20-4t-t=2×，解得t=2．

如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．

∴MH=2PH，同理可得t=．

故当t=2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．