Question

已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．

（1）当α＝60°时（如图1），

①判断△ABC的形状，并说明理由；

②求证：BD＝AE；

（2）当α＝90°时（如图2），求的值．

Answer

(1) ①等边三角形；理由见解析; ②证明见解析;(2)

【解析】

试题(1)①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．

（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．

试题解析：（1）①判断：△ABC是等边三角形．

理由：∵∠ABC=∠ACB=60°

∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等边三角形

②证明：同理△EBD也是等边三角形

连接DC，

则AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD

∴△ABE≌△CBD

∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°

∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°

在Rt△EDC中，，

∴,即BD=AE．

（2）连接DC，

∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°

∴△ABC∽△EBD

∴，即

又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD

∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，

∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°

设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=

在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2

∴，

即．