Question

已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．

运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；

运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为cm/s，当QC⊥DF时暂停旋转；

运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．

设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，

解答下列问题

（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时　   　s；

（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm²），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）10；（2）见解析；（3）存在，t=3.5或6﹣时，点Q正好在线段AB的中垂线上，理由见解析

【解析】

(1)分段分别讨论分析；

(2) 动一，Rt△ABC与Rt△DEF的重叠部分为直角△QCE的面积，表示出即可；运动二，连接CD，可得∠E=∠CDQ，∠ECP=∠ECQ，EC=DC，所以△ECP≌△DCQ，RT△ABC与RT△DEF的重叠部分不变：y=8（4＜t＜6）；运动三，四边形QDPC为矩形，CF=4-（t-6）=10-t，EC=8-CF=t-2，则可求得S矩形QDPC的值.

(3) Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，可得AQ=QB，所以，AC-CQ= ，又AC=16cm，BC=12cm，得，CQ=3.5cm，又由∠DEF=45°，所以，EC=3.5cm，解答出即可．

（1）根据题意得，

运动一：

∵△DEF是等腰三角形，∠ACB=90°，EF=8cm，

∴EC=4cm，

∴运动一所用时间为：4÷1=4（秒），

运动二：

∵当QC⊥DF时暂停旋转，

∵CD=CF，

∴DQ=QF=2cm

∴运动二所用时间为：2=2（秒），

运动三：

∵CF=4cm，

∴运动三所用的时间为：4÷1=4（秒），

∴整个过程共耗时4+2+4=10（秒）；

故答案为：10；

（2）运动一：如图2，

设EC为tcm，则CQ为tcm，

∴S△ECQ=×t×t，

∴S与t之间的函数关系式为：y=t2（0≤t≤4），

运动二：如图3，

连接CD，在△ECP和△DCQ中，

∵

∴△ECP≌△DCQ（ASA），

∴S与t之间的函数关系式为：y=8（4＜t＜6），

运动三：如图4，

四边形QDPC为矩形，

∴CF=4﹣（t﹣6）=10﹣t，

EC=8﹣CF=t﹣2，

∴S矩形QDPC=（t﹣2）×（10﹣t），

=t2+6t﹣10；

S与t之间的函数关系式为：y=t2+6t﹣10（6≤t≤10）；

（3）存在点Q，理由如下：

如图5，运动一：

∵点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，

∴AQ=QB，

∴AC﹣CQ=，

又∵AC=16cm，BC=12cm，

解得，CQ=3.5cm，

∵∠DEF=45°，

∴EC=3.5cm，

此时，t为：3.5÷1=3.5秒．

如图6，运动二：

同理：CQ=3.5，

过点C作CM⊥DF交DF于点M，CM=2，

在Rt△QCM中，QM==，

∴DQ=2﹣，

∴t=（2﹣）÷+4=6﹣；

运动三时，CQ最大为2＜3.5，

所以无解．

综上，t=3.5或6﹣时，点Q正好在线段AB的中垂线上．